Question

14．（1）求函數(shù)g（x）=x²-ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值．
（2）對(duì)函數(shù)f（x）（x∈[a，b]），定義f′（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值，若f（x）=x²-1（-2≤x≤3），求f′（x）．（可以直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)配方，確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類(lèi)討論，從而可求函數(shù)f（x）=x²-ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值；
（2）由新定義，討論x的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求．

解答 解：（1）f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{1}{4}$a²．
①當(dāng)$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=4+a；
②當(dāng)-1≤$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，$\frac{a}{2}$]上單調(diào)減，
在區(qū)間[$\frac{a}{2}$，1]上單調(diào)增，
∴f（x）的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{1}{4}$a²；
③當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)減，
∴f（x）的最小值為f（1）=4-a．
綜上可知，f（x）的最小值為：$\left\{\begin{array}{l}{4+a，a＜-2}\\{3-\frac{{a}^{2}}{4}，-2≤a≤2}\\{4-a，a＞2}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f′（x）=3；
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，f′（x）=x²-1．
即有f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3，-2≤x≤2}\\{{x}^{2}-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確配方，確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類(lèi)討論和新定義的理解及運(yùn)用．