Question

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+（a-1）x²+2x在區(qū)間（-∞，-3）內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{17}{6}$]．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=x²+2（a-1）x+2，從而根據(jù)題意得到f′（x）≤0在x∈（-∞，-3）上恒成立，進而得到$a≤-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$在x∈（-∞，-3）上恒成立，可設(shè)g（x）=$-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$，x∈（-∞，-3），容易判斷g′（x）＜0，從而得出g（x）＞g（-3）=$\frac{17}{6}$，這樣便可得出a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=x²+2（a-1）x+2；
f（x）在區(qū)間（-∞，-3）內(nèi)是增函數(shù)；
∴x＜-3時，x²+2（a-1）x+2≥0恒成立；
∴$a≤-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$在x∈（-∞，-3）上恒成立；
設(shè)g（x）=$-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$，x∈（-∞，-3），$g′（x）=\frac{2-{x}^{2}}{2{x}^{2}}$；
∵x＜-3；
∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞減；
∴$g（x）＞g（-3）=\frac{17}{6}$；
∴$a≤\frac{17}{6}$；
∴a的取值范圍為（-∞，$\frac{17}{6}$]．
故答案為：$（-∞，\frac{17}{6}]$．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，注意正確求導(dǎo)，要熟悉二次函數(shù)的圖象．