Question

11．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）=$\frac{3}{5}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）若f（2）=$\frac{3}{5}$，代入求解即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的單調(diào)性并證明．

解答 解：（1）若f（2）=$\frac{3}{5}$，則f（2）=1-$\frac{2}{{a}^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{2}{{a}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$，
則a²+1=5，即a²=4，解得a=2；
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$=$\frac{{a}^{x}+1-2}{{a}^{x}+1}$=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，
則f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$=-$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（3）設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-（1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$）=（$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴若a＞1，則${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，
∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)為增函數(shù)．
∴若0＜a＜1，則${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，
∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），即函數(shù)為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．