Question

3．已知圓O的方程為x²+y²=100．
（1）過點A（10，20）引圓O的切線，求切線的方程；
（2）由直線l：y=x+18上一點引圓O的切線，求切線長的最小值；
（3）已知直線y=kx+3與圓O交于M，N兩點，若|MN|≥6$\sqrt{11}$，求k的取值范圍；
（4）設圓O過點M（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，求四邊形ABCD的面積；
（5）設AC和BD為圓O的兩條相互垂直的弦，且垂足為M（3，5），求四邊形ABCD的面積的最大值；
（6）若圓O上有且只有4個點到直線l：x+y+λ=0的距離為1，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設過A（10，20）的切線方程為kx-y-10k+20=0，由$\frac{|20|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=10，能求出切線方程．
（2）先求出圓心O（0，0）到直線l：y=x+18的距離d，再由圓半徑r=10，能求出切線長的最小值．
（3）由圓心（0，0）到直線y=kx+3的距離d≤$\sqrt{100-99}$=1，能求出結果．．
（4）圓O過點M（3，5）的最長弦是直徑，最短弦是垂直于直線的弦，由此能求出四邊形ABCD的面積．
（5）設d₁，d₂分別是圓O到AC，BD的距離，則${e1au2b4_{1}}^{2}+{xtft9bk_{2}}^{2}$=9+25=34，由基本不等式求出$1nu4gcy_{1}=ciwnctk_{2}=\sqrt{17}$時，四邊形ABCD的面積取最大值．
（6）點到直線距離公式有：圓心O（0，0）到直線l：x+y+λ=0的距離d=$\frac{|λ|}{\sqrt{2}}$，由此能求出實數λ的取值范圍．

解答 解：（1）圓O：x²+y²=100的圓心O（0，0），半徑r=10，
設過A（10，20）的切線方程為y-20=k（x-10），即kx-y-10k+20=0，
∴$\frac{|20|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=10，解得k=$±\sqrt{3}$，
∴切線方程為y=$±\sqrt{3}$（x-10）+20．
（2）∵圓心O（0，0）到直線l：y=x+18的距離d=$\frac{|18|}{\sqrt{2}}$=9$\sqrt{2}$，
圓半徑r=10，
∴切線長的最小值為：$\sqrt{vwofwsh^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{162-100}$=$\sqrt{62}$．
（3）∵直線y=kx+3與圓O交于M，N兩點，|MN|≥6$\sqrt{11}$，
∴圓心（0，0）到直線y=kx+3的距離d=$\frac{|3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{100-99}$=1，
解得k$≥2\sqrt{2}$或k≤-2$\sqrt{2}$．
（4）∵圓O：x²+y²=100的圓心O（0，0），半徑r=10，
圓O過點M（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，
∴AC=20，BD=2$\sqrt{100-（\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}）^{2}}$=2$\sqrt{66}$，
∴四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}×20×2\sqrt{66}$=20$\sqrt{66}$．
（5）設d₁，d₂分別是圓O到AC，BD的距離，則${p2xkduq_{1}}^{2}+{66kbtia_{2}}^{2}$=9+25=34，
∴四邊形ABCD的面積S=S_△CAD+S_△CAB=$\frac{1}{2}•AC•BD$
=$\frac{1}{2}•2\sqrt{100-{9qdwpgy_{1}}^{2}}•2\sqrt{100-{ac4s72g_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{（100-{qqjawog_{1}}^{2}）（100-{ho811oz_{2}}^{2}）}$
=2$\sqrt{10{0}^{2}-100（{vxmdarj_{1}}^{2}+{hj1xtle_{2}}^{2}）+（bg7xokd_{1}df7ja72_{2}）^{2}}$
=2$\sqrt{6600+（uzp4cvi_{1}fjwofzs_{2}）^{2}}$≤2$\sqrt{6600+（\frac{{7tl9l6v_{1}}^{2}+{dg9lyt6_{2}}^{2}}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6600+289}$=166．
∴$uyldukc_{1}=07nfuni_{2}=\sqrt{17}$時，四邊形ABCD的面積取最大值166．
（6）∵圓O上有且只有4個點到直線l：x+y+λ=0的距離為1，
點到直線距離公式有：圓心O（0，0）到直線l：x+y+λ=0的距離為：
d=$\frac{|λ|}{\sqrt{2}}$=1，解得λ=$±\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}＜λ＜\sqrt{2}$，
∴實數λ的取值范圍是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查切線的方程、切線長的最小值、實數取值范圍、四邊形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線距離公式、基本不等式的合理運用．