Question

8．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=$\sqrt{2}$，A₁B=2．
（1）如果D為AB的中點，求證：BC₁∥平面A₁CD．
（2）求證：BC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）連結A₁C，交AC₁于O，連結DO，推導出OD∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）推導出BC⊥A₁C，AA₁⊥BC，由此能證明BC⊥平面ACC₁A₁．

解答 證明：（1）連結A₁C，交AC₁于O，連結DO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ACC₁A₁是平行四邊形，∴O是AC₁的中點，
∵D為AB的中點，∴OD∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（2）在△A₁AC中，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=$\sqrt{2}$，∴${A}_{1}C=\sqrt{2}$，
∴△A₁BC中，BC=$\sqrt{2}$，${A}_{1}C=\sqrt{2}$，A₁B=2，
∴BC⊥A₁C，
又AA₁⊥BC，∴BC⊥平面ACC₁A₁．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)產(chǎn)．