Question

15．如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）當k=2時，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）設在第一象限有一飛行物（忽略其大�。�，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以其中它？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過k=2，化簡函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求解射程．
（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解．
（3）炮彈可以擊中目標等價于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k²）a²≥3.2成立，轉化為關于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．利用判別式，求解即可．

解答 解：（1）∵k=2，$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k}^{2}）{x}^{2}（k＞0）$，可得：$y=2x-\frac{1}{4}{x}^{2}$，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程為：8千米．
（2）在 y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0．                  
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0．
∴x=$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{20}{\frac{1}{k}+k}$≤$\frac{20}{2}$=10，當且僅當k=1時取等號．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標等價于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k²）a²≥3.2成立，
即關于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韋達定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0，得a≤6．
此時，k=$\frac{20a±\sqrt{△}}{2{a}^{2}}$＞0．
∴當a不超過6時，炮彈可以擊中目標．

點評 本題主要是求函數(shù)的最值問題以及圖象和x軸的交點坐標，函數(shù)模型的運用，基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．