13.已知函數(shù)$f(x)={(\frac{1}{2})^x}$,其反函數(shù)為y=g(x).
(Ⅰ) 若g(mx2+2x+1)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ) 當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求函數(shù)y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);
(Ⅲ) 是否存在實(shí)數(shù)m>n>2,使得函數(shù)y=h(x)的定義域?yàn)閇n,m],值域?yàn)閇n2,m2],若存在,求出m、n的值;若不存在,則說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)求得g(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$,由定義域?yàn)镽,可得mx2+2x+1>0恒成立,即有m>0,判別式小于0,解不等式即可得到所求范圍;
(Ⅱ)令$t={(\frac{1}{2})^x},t∈[\frac{1}{2},2]$,即有y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,運(yùn)用單調(diào)性,即可得到所求最小值;
(III)h(x)=7-4x,x∈(2,+∞),且h(x)在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞減,可得h(n)=m2,h(m)=n2,兩式相減,即可判斷.

解答 解:(Ⅰ)由函數(shù)$f(x)={(\frac{1}{2})^x}$,可得其反函數(shù)為y=$g(x)={log_{\frac{1}{2}}}x$,
因?yàn)?g(m{x^2}+2x+1)={log_{\frac{1}{2}}}(m{x^2}+2x+1)$定義域?yàn)镽,
即有mx2+2x+1>0恒成立,
所以$\left\{\begin{array}{l}m>0\\△=4-4m<0\end{array}\right.$,
解得m∈(1,+∞);
(Ⅱ)令$t={(\frac{1}{2})^x},t∈[\frac{1}{2},2]$,
即有y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2
當(dāng)a>2,區(qū)間[$\frac{1}{2}$,2]為減區(qū)間,t=2時(shí),ymin=7-4a;
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤2,t=a時(shí),ymin=3-a2;
當(dāng)a<$\frac{1}{2}$,區(qū)間[$\frac{1}{2}$,2]為增區(qū)間,t=$\frac{1}{2}$時(shí),ymin=$\frac{13}{4}$-a.
則$h(a)=\left\{\begin{array}{l}7-4a,a>2\\ 3-{a^2},\frac{1}{2}≤a≤2\\ \frac{13}{4}-a,a<\frac{1}{2}\end{array}\right.$;
(III)h(x)=7-4x,x∈(2,+∞),且h(x)在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞減.
所以$\left\{\begin{array}{l}{h(n)=7-4n={m}^{2}}\\{h(m)=7-4m={n}^{2}}\end{array}\right.$,兩式相減得,
m+n=4,與m>n>2矛盾,
所以不存在m,n滿足條件.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法,考查二次函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用分類討論的思想方法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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