Question

13．已知函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$，其反函數(shù)為y=g（x）．
（Ⅰ） 若g（mx²+2x+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ） 當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（Ⅲ） 是否存在實(shí)數(shù)m＞n＞2，使得函數(shù)y=h（x）的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，由定義域?yàn)镽，可得mx²+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；
（Ⅱ）令$t={（\frac{1}{2}）^x}，t∈[\frac{1}{2}，2]$，即有y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到所求最小值；
（III）h（x）=7-4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞減，可得h（n）=m²，h（m）=n²，兩式相減，即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$，可得其反函數(shù)為y=$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$，
因?yàn)?g（m{x^2}+2x+1）={log_{\frac{1}{2}}}（m{x^2}+2x+1）$定義域?yàn)镽，
即有mx²+2x+1＞0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=4-4m＜0\end{array}\right.$，
解得m∈（1，+∞）；
（Ⅱ）令$t={（\frac{1}{2}）^x}，t∈[\frac{1}{2}，2]$，
即有y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，
當(dāng)a＞2，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]為減區(qū)間，t=2時(shí)，y_min=7-4a；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤2，t=a時(shí)，y_min=3-a²；
當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]為增區(qū)間，t=$\frac{1}{2}$時(shí)，y_min=$\frac{13}{4}$-a．
則$h（a）=\left\{\begin{array}{l}7-4a，a＞2\\ 3-{a^2}，\frac{1}{2}≤a≤2\\ \frac{13}{4}-a，a＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
（III）h（x）=7-4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞減．
所以$\left\{\begin{array}{l}{h（n）=7-4n={m}^{2}}\\{h（m）=7-4m={n}^{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得，
m+n=4，與m＞n＞2矛盾，
所以不存在m，n滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．