Question

4．已知$tan（{α+β}）=2，tan（{π-β}）=\frac{3}{2}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{{sin（{\frac{π}{2}+α}）-sin（{π+α}）}}{cosα+2sinα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得tan（α+β）=2，tanβ=-$\frac{3}{2}$，代入tanα=tan[（α+β）-β]=$\frac{tan（α+β）-tanβ}{1+tan（α+β）tanβ}$，計算可得；
（2）由誘導公式和弦化切可得原式=$\frac{1+tanα}{1+2tanα}$，代值計算可得．

解答 解：（1）∵$tan（{α+β}）=2，tan（{π-β}）=\frac{3}{2}$，
∴tan（α+β）=2，tanβ=-$\frac{3}{2}$，
∴tanα=tan[（α+β）-β]
=$\frac{tan（α+β）-tanβ}{1+tan（α+β）tanβ}$=$\frac{2+\frac{3}{2}}{1+2×（-\frac{3}{2}）}$=-$\frac{7}{4}$；
（2）化簡可得$\frac{{sin（{\frac{π}{2}+α}）-sin（{π+α}）}}{cosα+2sinα}$
=$\frac{cosα+sinα}{cosα+2sinα}$=$\frac{1+tanα}{1+2tanα}$=$\frac{3}{10}$

點評 本題考查三角函數(shù)化簡，涉及兩角差的正切公式和同角三角函數(shù)基本關系，屬基礎題．