Question

2．已知f（x）為定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)解析式f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$（a∈R）．
（1）寫出f（x）在[0，2]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，求出a，結(jié)合x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)解析式，可得f（x）在[0，2]上的解析式；
（2）換元、配方，即可求f（x）在[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）為定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，且f（x）在x=0處有意義，
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{1}{40}$-$\frac{a}{20}$=1-a=0．
a=1．…（3分）
設(shè)x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]．
∴f（-x）=$\frac{1}{4-x}$-$\frac{1}{2-x}$=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．…（8分）
（2）當(dāng)x∈[0，2]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴設(shè)t=2^x（t＞0），則f（t）=t-t²．
∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]．
當(dāng)t=1時(shí)，取最大值，最大值為1-1=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．