Question

5．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AC與BD₁所成的角的大�。� 
（2）求直線AE與平面ABB₁A₁所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與BD₁所成的角的大�。�
（2）求出平面ABB₁A₁的法向量，利用向量法能求出直線AE與平面ABB₁A₁所成的角的大小．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=4-4+0=0，
∴AC⊥$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，
∴異面直線AC與BD₁所成的角的大小為90^○．
（2）E（0，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，1），
平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)直線AE與平面ABB₁A₁所成的角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴θ=arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直線AE與平面ABB₁A₁所成的角的大小為arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．