Question

10．某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對(duì)本次全部數(shù)學(xué)成績(jī)按1：20進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)?yōu)闃颖�，成�?jī)用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如表所示的頻率分布表：

分?jǐn)?shù)段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150）	總計(jì)
頻數(shù)				b
頻率	a	0.25

（Ⅰ）求表中a，b的值及成績(jī)?cè)赱90，110）范圍內(nèi)的個(gè)體數(shù)；
（Ⅱ）從樣本中成績(jī)?cè)赱100，130）內(nèi)的個(gè)體中隨機(jī)抽取4個(gè)個(gè)體，設(shè)其中成績(jī)?cè)赱100，110）內(nèi)的個(gè)體數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；
（Ⅲ）若把樣本各分?jǐn)?shù)段的頻率看作總體相應(yīng)各分?jǐn)?shù)段的概率，現(xiàn)從全校高三期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求其中恰好有1個(gè)成績(jī)及格的概率（成績(jī)?cè)赱90，150）內(nèi)為及格）．
附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相獨(dú)立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖知成績(jī)?cè)赱50，70）范圍內(nèi)的有2 人，成績(jī)?cè)赱110，130）范圍內(nèi)的有3人，由此能求出表中a，b的值及成績(jī)?cè)赱90，110）范圍內(nèi)的個(gè)體數(shù)．
（Ⅱ）由莖葉圖知成績(jī)?cè)赱100，130）內(nèi)的共有7人，其中成績(jī)?cè)赱100，110）內(nèi)的共有4人，于是X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
（Ⅲ）該校高三期中考試數(shù)學(xué)及格率為p=1-0.1-0.25=0.65，設(shè)隨機(jī)抽取3個(gè)，其中恰有一個(gè)成績(jī)及格的事件為A，由此能求出恰好有1個(gè)成績(jī)及格的概率．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖知成績(jī)?cè)赱50，70）范圍內(nèi)的有2 人，
成績(jī)?cè)赱110，130）范圍內(nèi)的有3人，
∴a=$\frac{2}{20}$=0.1，b=3，
成績(jī)?cè)赱90，110）范圍內(nèi)的頻率為：1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成績(jī)?cè)赱90，110）范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4=8．
（Ⅱ）由莖葉圖知成績(jī)?cè)赱100，130）內(nèi)的共有7人，其中成績(jī)?cè)赱100，110）內(nèi)的共有4人，
于是X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

EX=$1×\frac{4}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{12}{35}+4×\frac{1}{35}$=$\frac{16}{7}$．
（Ⅲ）該校高三期中考試數(shù)學(xué)及格率為p=1-0.1-0.25=0.65，
設(shè)隨機(jī)抽取3個(gè)，其中恰有一個(gè)成績(jī)及格的事件為A，則根據(jù)題設(shè)有：
P（A）=${C}_{3}^{1}×0.65×（1-0.65）^{2}$=0.238875．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．