Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）求f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再求出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²并化簡，根據(jù)x的范圍，得出|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|；
（2）求出f（x）的解析式并化簡成二次函數(shù)類型，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos2x，∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=2+2cos2x=4cos²x．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx≥0，∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=2cosx．
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1=2（cosx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴0≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{3}{2}$；當(dāng)cosx=0或1時(shí)，f（x）取得最大值-1．
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，平面向量的數(shù)量積，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意x的范圍是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．