Question

17．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)（3，m）到焦點(diǎn)的距離為5．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)F作直線l，交C于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；
（2）利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為$x=-\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可知$3-（-\frac{p}{2}）=5$（2分）
解得p=4（3分）
∴C的方程為y²=8x．（4分）
（2）由（1）得拋物線C的方程為y²=8x，焦點(diǎn)F（2，0）
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}^2=8{x_1}\\{y_2}^2=8{x_2}\end{array}\right.$（6分）
兩式相減．整理得$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{8}{{{y_2}+{y_1}}}$
∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1
∴直線l的斜率${k_{AB}}=\frac{8}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{8}{（-1）×2}=-4$（10分）
直線l的方程為y-0=-4（x-2）即4x+y-8=0（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．