Question

2．如圖所示，點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）上，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B是橢圓的頂點(diǎn)，若PF⊥x軸，且$\frac{|OP|}{|AB|}$=$\frac{c}{a}$，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由已知得△ABO∽△OPF，$\frac{PF}{OB}=\frac{OP}{AB}$=$\frac{c}{a}$，從而得到$\frac{\frac{^{2}}{a}}$=$\frac{a}=\frac{c}{a}$，由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：∵點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）上，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點(diǎn)，
點(diǎn)A、B是橢圓的頂點(diǎn)，PF⊥x軸，且$\frac{|OP|}{|AB|}$=$\frac{c}{a}$，
∴△ABO∽△OPF，$\frac{PF}{OB}=\frac{OP}{AB}$=$\frac{c}{a}$，
∵PF=$\frac{^{2}}{a}$，OB=b，∴$\frac{OP}{AB}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}$=$\frac{a}=\frac{c}{a}$，
∴b=c，∴a=$\sqrt{2}c$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．