Question

6．如圖所示，圓錐的母線長l，軸截面PAB內，∠PAO=60°，
求：
（1）該圓錐的體積；
（2）側面面積、側面展開圖的圓心角的度數(shù)．

Answer 1

分析 由圓錐的母線長l，軸截面PAB內，∠PAO=60°，故圓錐的底面半徑r=$\frac{1}{2}$l，圓錐的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
（1）代入圓錐體積公式，可得答案；
（2）代入圓錐側面積公式，可得側面面積，設側面展開圖的圓心角的度數(shù)為α，利用扇形面積公式，可得圓心角度數(shù)．

解答 解：（1）∵圓錐的母線長l，軸截面PAB內，∠PAO=60°，
故圓錐的底面半徑r=$\frac{1}{2}$l，
圓錐的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
故圓錐的體積V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}{πr}^{2}h$=$\frac{\sqrt{3}}{24}{πl(wèi)}^{3}$；
（2）圓錐的側面積S=πrl=$\frac{1}{2}{πl(wèi)}^{2}$，
設側面展開圖的圓心角的度數(shù)為α，
則$\frac{α}{2π}$πl(wèi)²=$\frac{1}{2}{πl(wèi)}^{2}$，
解得：α=π

點評 本題考查的知識點是旋轉體，圓錐的體積和表面積公式，難度中檔．