Question

16．已知點C在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，以C為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F，若圓C與y軸相切，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 如圖所示，把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y_C，根據(jù)以C為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F，圓C與y軸相切，可得c=y_C，化簡解出即可得出．

解答 解：如圖所示，
把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得y_C=$\frac{^{2}}{a}$，
∵以C為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F，圓C與y軸相切，
∴c=$\frac{^{2}}{a}$，
化為ac=b²=a²-c²，
∴e²+e-1=0，0＜e＜1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．