Question

14．已知0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，且sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求cosα的值；
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和的正切公式求得tanα 的值，再根據(jù)sin²α+cos²α=1，0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，求得cosα的值．
（2）由條件同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β），再利用兩角差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）-α]的值．

解答 解：（1）把tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$代入tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}$，求得tanα=$\frac{4}{3}$=$\frac{sinα}{cosα}$，再根據(jù)sin²α+cos²α=1，0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，
求得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．
（2）由0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，可得$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，再根據(jù)sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，
可得α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$-（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．