Question

20．若S_n為數列{a_n}的前n項和，且a₁=1，S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，a_n≠0，若數列{$\frac{1}{2{S}_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{2016}{2017}$，則n的值為2016．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1與S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1a_n作差，整理可知a_n+1-a_n-1=2，進而a_n=n，通過裂項可知$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而并項相加可知T_n=$\frac{n}{n+1}$，對比即得結論．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
∴當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1a_n，
兩式相減得：a_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1-$\frac{1}{2}$a_n-1a_n，
又∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
又∵a₁=1，a₂=2，
∴數列{a_n}的奇數項是首項為1、公差為2的等差數列，
偶數項是首項、公差均為2的等差數列，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
又∵T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，
∴1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，即$\frac{n}{n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，
∴n=2016，
故答案為：2016．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．