Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點(diǎn)E在線段AD上且AE=3，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使得點(diǎn)D落在線段AE上，則此時(shí)二面角D-EC-B的余弦值為（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． $\frac{6}{7}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 在折疊前的矩形中連接BD交EC于O，得到BD⊥CE，從而得到折起后，∴∠BOD是二面角D-EC-B的平面角，利用余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：在折疊前的矩形中連接BD交EC于O，
∵BC=4，CD=2，CD=2，DE=1，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CD}{DE}$，即△BCD∽△CDE，
∴∠DBC=∠ECD，
∴∠DBC=∠ECD，
∴∠ECD+∠ODC=90°，即BD⊥CE，
折起后，
∵BO⊥CE，DO⊥CE，
∴∠BOD是二面角D-EC-B的平面角，
在△BOD中，OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OB=BD-OD=2$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由余弦定理得cos∠BOD=$\frac{O{D}^{2}+O{B}^{2}-B{D}^{2}}{2OD•DB}$=$\frac{7}{8}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)折疊前后直線的位置關(guān)系以及二面角的平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．