Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，且不等式f（x）＞0的解為1＜x＜3．
（1）證明：二次函數(shù)f（x）圖象向下平移|a|個單位頂點在x軸上；
（2）若函數(shù)f（x）-2x的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系可知f（x）開口向下，對稱軸為x=2，且f（1）=0．用a表示出b，c，代入f（x）的頂點縱坐標(biāo)證明f_max（x）=|a|即可．
（2）根據(jù)（1）中a，b，c的關(guān)系求出g（x）=f（x）-2x的最大值，令g_max（x）＞0解出．

解答 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解為1＜x＜3，
∴a＜0，f（1）=f（3）=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{-\frac{2a}=2}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=3a}\end{array}\right.$．
∴f_max（x）=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{12{a}^{2}-16{a}^{2}}{4a}$=-a=|a|．
∴二次函數(shù)f（x）圖象向下平移|a|個單位頂點在x軸上．
（2）令g（x）=f（x）-2x=ax²+（b-2）x+c．
∴g_max（x）=$\frac{4ac-（b-2）^{2}}{4a}$=$\frac{12{a}^{2}-（4a+2）^{2}}{4a}$=$\frac{-{a}^{2}-4a-1}{a}$＞0．
∵a＜0，∴a²+4a+1＞0，解得a＜-2-$\sqrt{3}$或a＞-2+$\sqrt{3}$．
∴a的取值范圍是（-∞，-2-$\sqrt{3}$）∪（-2+$\sqrt{3}$，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．