Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$，a∈R．
（1）若a=0，試求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）＞0的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜2}，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$，由基本不等式和不等式的性質(zhì)可得值域；
（2）由題意可得-$\frac{1}{2}$和2為方程$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$=0的根，代值解方程可得a值；
（3）問題可化為（a-1）x²+2x-1-a＞0，針對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a-1分類討論可得．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$，
由基本不等式可得當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≤-2，
∴x+$\frac{1}{x}$-1≥1或x+$\frac{1}{x}$-1≤-3，∴0＜$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$≤1或-$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$＜0，
綜合可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{3}$，1]；
（2）∵不等式f（x）＞0的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜2}，
∴-$\frac{1}{2}$和2為方程$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$=0的根，
代入可解得a=-$\frac{2}{3}$；
（3）不等式f（x）＞1可化為$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$＞1，
由x²-x+1恒大于0可得ax²+x-a＞x²-x+1，
整理可得（a-1）x²+2x-1-a＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式可化為2x-2＞0，解集為{x|x＞1}；
當(dāng)a＞1時(shí)，△=4-4（a-1）（-1-a）=4a²＞0，
此時(shí)方程（a-1）x²+2x-1-a=0的兩根為$\frac{a+1}{1-a}$和-1，
此時(shí)不等式的解集為{x|$\frac{a+1}{1-a}$＜x＜-1}；
當(dāng)a＜1時(shí)，△=4-4（a-1）（-1-a）=4a²＞0，
此時(shí)方程（a-1）x²+2x-1-a=0的兩根為$\frac{a+1}{1-a}$和-1，
此時(shí)不等式的解集為{x|x＜$\frac{a+1}{1-a}$或x＞-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域和不等式的解集，涉及分類討論的思想，屬中檔題．