Question

17．若函數(shù)y=f（x）x∈[0，1]同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③任意x₁，x₂∈[0，1]，當(dāng)x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，我們就稱(chēng)f（x）為“穩(wěn)定函數(shù)”．請(qǐng)根據(jù)上述信息解決以下問(wèn)題：
（1）已知h（x）是穩(wěn)定函數(shù)，求h（0）的值；
（2）若函數(shù)g（x）=a^x-1（a＞0且a≠1），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得g（x）是穩(wěn)定函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知f（x）是穩(wěn)定函數(shù)，存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)穩(wěn)定函數(shù)的概念，可以采用賦值法，可得h（0）=0；
（2）根據(jù)“穩(wěn)定函數(shù)”的定義，先滿(mǎn)足②得a=2，然后檢驗(yàn)函數(shù)g（x）=2^x-1，是否滿(mǎn)足理想函數(shù)的三個(gè)條件即可；
（3）根據(jù)“穩(wěn)定函數(shù)”的定義進(jìn)行推導(dǎo)即可．

解答 解：（1）取x₁=x₂=0，代入h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），可得h（0）≥h（0）+h（0）
即h（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，總有h（x）≥0可得h（0）≥0，
∴h（0）=0；
（2）若存在實(shí)數(shù)a，使得g（x）是穩(wěn)定函數(shù)，
則若滿(mǎn)足g（1）=1得g（1）=a-1=1，則a=2，
當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=2^x-1，
①顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿(mǎn)足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g(shù)（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0，
故g（x）=2^x-1滿(mǎn)足條件①②③，
即存在實(shí)數(shù)a=2，使得g（x）是穩(wěn)定函數(shù)．
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時(shí)，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法，函數(shù)的新定義則轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，本題則結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，探討函數(shù)的函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)．