Question

6．已知一組函數(shù)f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx，x$∈[0，\frac{π}{2}$]，n∈N^*，則下列說法正確的是（1）（2）（4）
（1）?n∈N^*，f_n（x）≤$\sqrt{2}$恒成立．
（2）f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增．
（3）n為大于1的奇函數(shù)時，f_n（x）的最小正周期為π．
（4）n為大于2的偶函數(shù)時，f_n（x）的值域為[（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n}{2}-1}$，1]．

Answer 1

分析 （1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），即可判斷出正誤；
（2）利用平方關(guān)系、倍角公式可得：f₄（x）=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，即可判斷出其單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可得n為大于1的奇數(shù)時，f_n（x）的最小正周期為2π．
（4）求出函數(shù)的最值，進而得到函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f_n（x）=sinⁿx+cosⁿx≤sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，因此（1）正確；
（2）f₄（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}$sin²2x=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1-cos4x}{2}$=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，當x∈[0，$\frac{π}{4}$]，4x∈[0，π]，因此f₄（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞減，當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，4x∈[π，2π]，因此f₄（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，因此（2）正確．
（3）當n為大于1的奇數(shù)時，令n=2k+1，k∈N^*時，f（x+2π）=f（x），
∴2π 是 f（x） 的一個周期．
令f（x）=0，可得tanⁿx=-1，即tanx=-1．
解得x=$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈N^*，下面證明2π 是 f（x）的最小正周期：
①當 T₁∈（0，2π）且T₁≠π是其周期，
取 x₁=$\frac{3π}{4}$-T₁．
則 f（x₁）≠0，f（x₁+T₁）=0．
所以T₁不是f（x） 的周期．
②當T₂=π 時，
取x₂=0．
則 f（x₂）=1，f（x₂+T₂）=-1．
所以T₂不是f（x）的周期．
綜上，當 n=2k+1，k∈N^*時，
f（x）的最小正周期是 2π．故（3）錯誤；
（4）n為大于2的偶函數(shù)時，當x=0，或x=$\frac{π}{2}$時，f_n（x）取最大值1，
當x=$\frac{π}{4}$時，f_n（x）取最小值1，[（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n}{2}-1}$，
故函數(shù)的值域為[（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n}{2}-1}$，1]，故（4）正確；
綜上可得：（1）（2）（4）都正確．
故答案為：（1）（2）（4）

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、平方公式、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．