Question

7．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-a|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=4時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞2；
（2）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的面積為6，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）將a=4代入f（x），通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求出A、B、C的坐標(biāo)，表示出△ABC的面積，求出A的值即可．

解答 解：（1）a=4時，由|2x+1|-|x-4|＞2得：
①x≤-$\frac{1}{2}$時，-x-5＞2，解得：x＜-7，
②-$\frac{1}{2}$＜x＜4時，3x-3＞2，解得：4＞x＞$\frac{5}{3}$，
③x≥4時，x+5＞2，解得：x＞-3，故x≥4，
綜上，不等式的解集是（-∞，-7）∪（$\frac{5}{3}$，+∞）；
（2）由題意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1-a，（x＜-\frac{1}{2}）}\\{3x+1-a，（-\frac{1}{2}≤x≤a）}\\{x+1+a，（x＞a）}\end{array}\right.$，
∵a＞0，∴f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-a＜0，
f（a）=2a+1＞0，
如圖示：

其中A（-1-a，0），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$-a），C（$\frac{a-1}{3}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$[$\frac{a-1}{3}$-（-1-a）]•（$\frac{1}{2}$+a）=$\frac{1}{6}$（2a+1）²，
∴$\frac{1}{6}$（2a+1）²=6，解得：a=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．