Question

16．已知x，y滿(mǎn)足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則$\frac{y}{x-a}$的最大值是（　�。�

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題設(shè)條件，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay，取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)知取得最優(yōu)解必在邊界上而不是在頂點(diǎn)上，故目標(biāo)函數(shù)的斜率為正，最小值應(yīng)在左上方邊界AC上取到，即x+ay=0應(yīng)與直線AC平行，進(jìn)而計(jì)算可得a值，最后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)$\frac{y}{x-a}$的幾何意義求出答案即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域：
由題意，最優(yōu)解應(yīng)在線段AC上取到，故x+ay=0應(yīng)與直線AC平行，
∵k_AC=$\frac{2-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=-3，
則$\frac{y}{x-a}$=$\frac{y-0}{x-（-3）}$表示點(diǎn)P（-3，0）與可行域內(nèi)的點(diǎn)Q（x，y）連線的斜率，
由圖得，當(dāng)Q（x，y）=C（4，2）時(shí)，
其取得最大值，最大值是$\frac{2}{4-（-3）}$=$\frac{2}{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的判定，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．