Question

4．在1，2，3，4，5，6這6個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)．
（1）求這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率；
（2）設(shè)ξ為這3個(gè)數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差（例如：若取出的數(shù)為1，2，4，此時(shí)ξ等于3）．求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是滿足條件的事件是至少有一個(gè)是偶數(shù)，20-1=19種結(jié)果，得到概率．
（2）寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有取值，利用古典概型的概率公式求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率值，列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，共有C₆³=20種結(jié)果，
滿足條件的事件是至少有一個(gè)是偶數(shù)，20-1=19種結(jié)果，
記“這3個(gè)數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，
∴P（A）=$\frac{19}{20}$，
即3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率是$\frac{19}{20}$．
（2）ξ的取值為2，3，4，5，則
ξ=2時(shí)，所取數(shù)為123，234，345，456，概率為$\frac{1}{5}$；ξ=3時(shí)，所取數(shù)為124，134，235，245，346，356，概率為$\frac{3}{10}$；
ξ=4時(shí)，所取數(shù)為125，135，145，236，246，256，概率為$\frac{1}{5}$；ξ=5時(shí)，所取數(shù)為126，136，146，156，概率為$\frac{3}{10}$
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$

Eξ=2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{3}{10}$+4×$\frac{1}{5}$+5×$\frac{3}{10}$=3.6．

點(diǎn)評(píng) 利用古典概型求事件的概率要求出事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，常用的求法有：列舉法、列表法、排列組合的方法、樹(shù)狀圖法；求隨機(jī)變量的分布列應(yīng)該求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率值．