Question

12．已知點P是圓C：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16上任意一點，A（$\sqrt{3}$，0）是圓C內(nèi)一點，線段AP的垂直平分線l和半徑CP交于點Q，O為坐標原點．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡E的方程．
（2）設(shè)過點B（0，-2）的動直線與E交于M，N兩點，當△OMN的面積最大時，求此時直線的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由題意可得|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2$\sqrt{3}$，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，則點Q的軌跡方程可求；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意可設(shè)直l的方程為：y=kx-2，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三角形的面積計算公式即可得出S_△OMN．通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意知|PQ|=|AQ|，
又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…（2分）
∴|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2$\sqrt{3}$
由橢圓定義知Q點的軌跡是橢圓，a=2，c=$\sqrt{3}$…（3分）
∴b=1，
∴點Q的軌跡E的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．…（5分）
（2）由題意知所求的直線不可能垂直于x軸，所以可設(shè)直線為：y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組，將y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得（1+4k²）x²-16kx+12=0…（6分）
當△＞0時，即k²＞$\frac{3}{4}$時，x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，…（7分）

則△OMN的面積S=$\frac{1}{2}$|OB||x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$…（8分）
設(shè)$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t＞0，
∴${S_{△OMN}}=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤1，當且僅當t=\frac{4}{t}即t=2時面積最大$，最大值為1…（10分）
∴$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=2，k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，滿足△＞0…（11分）
∴直線的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$x-2…（12分）

點評 本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了換元法和轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．