Question

12．已知點(diǎn)P是圓C：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16上任意一點(diǎn)，A（$\sqrt{3}$，0）是圓C內(nèi)一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑CP交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程．
（2）設(shè)過點(diǎn)B（0，-2）的動(dòng)直線與E交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)△OMN的面積最大時(shí)，求此時(shí)直線的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由題意可得|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2$\sqrt{3}$，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，則點(diǎn)Q的軌跡方程可求；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意可設(shè)直l的方程為：y=kx-2，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出S_△OMN．通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意知|PQ|=|AQ|，
又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…（2分）
∴|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2$\sqrt{3}$
由橢圓定義知Q點(diǎn)的軌跡是橢圓，a=2，c=$\sqrt{3}$…（3分）
∴b=1，
∴點(diǎn)Q的軌跡E的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．…（5分）
（2）由題意知所求的直線不可能垂直于x軸，所以可設(shè)直線為：y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組，將y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得（1+4k²）x²-16kx+12=0…（6分）
當(dāng)△＞0時(shí)，即k²＞$\frac{3}{4}$時(shí)，x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，…（7分）

則△OMN的面積S=$\frac{1}{2}$|OB||x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$…（8分）
設(shè)$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t＞0，
∴${S_{△OMN}}=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t=\frac{4}{t}即t=2時(shí)面積最大$，最大值為1…（10分）
∴$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=2，k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，滿足△＞0…（11分）
∴直線的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$x-2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了換元法和轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．