Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的零點和極值；
（3）若對任意x₁，x₂∈[a，+∞），都有f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{1}{{e}^{2}}$成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；
（2）令f（x）=0，可得零點；由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而得到極小值，無極大值；
（3）結(jié)合單調(diào)性，當(dāng)a≥2時，f（x）在[a，+∞）遞增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，運用不等式的性質(zhì)，即可得到a的最小值為2．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，
可得在點（0，f（0））處的切線斜率為-2，切點為（0，1），
即有切線的方程為y=-2x+1；
（2）由f（x）=0，可得x=1，即零點為1；
由x＞2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＜2時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=2處，f（x）取得極小值，且為-$\frac{1}{{e}^{2}}$，無極大值；
（3）由（2）可得f（2）取得極小值-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)a≥2時，f（x）在[a，+∞）遞增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
由-$\frac{1}{{e}^{2}}$≤f（x₁）＜0，0＜-f（x₂）＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
可得$\frac{1}{{e}^{2}}$＞f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{1}{{e}^{2}}$恒成立．
即有a的最小值為2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．