Question

5．已知集合M={x|ax²+bx+c＞0，x∈R}，N={x|Ax²+Bx+C＞0，x∈R}（其中a，b，c，A，B，C均為非0實(shí)數(shù)）．試判斷“$\frac{a}{A}$=$\frac{B}$=$\frac{c}{C}$”是“M=N”的充分條件還是必要條件．

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若$\frac{a}{A}$=$\frac{B}$=$\frac{c}{C}$=m，（m≠0），
則a=mA，b=mB，c=mC，
∴不等式ax²+bx+c＞0等價(jià)為m（Ax²+Bx+C）＞0，
若m＞0，則m（Ax²+Bx+C）＞0，等價(jià)為Ax²+Bx+C＞0，此時(shí)兩個(gè)不等式的解集相同，即M=N，
若m＜0，m（Ax²+Bx+C）＞0，等價(jià)為Ax²+Bx+C＜0，此時(shí)兩個(gè)不等式的解集不相同．
若兩個(gè)不等式的解集為∅時(shí)，則兩個(gè)不等式的系數(shù)之間沒(méi)有關(guān)系，
∴“$\frac{a}{A}$=$\frac{B}$=$\frac{c}{C}$”是“M=N”的既不充分也不必要條件．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的解法與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．