Question

18．如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E為PC的中點，M為AB的中點，點G，F(xiàn)是PA上的三等分點．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）求證：CM∥平面BEF．

Answer 1

分析 （1）通過證明AC⊥平面PBC，即可證明AC⊥BE；
（2）取AF的中點G，AB的中點M，證明CG∥平面BEF，GM∥平面BEF；
得出平面CMG∥平面BEF，從而證明CD∥平面BEF．

解答 證明：（1）∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，…（1分）
∴AC⊥PB；…（2分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB； …（3分）
又PB∩CB=B，PC、PB?平面PBC，…（4分）
∴AC⊥平面PBC； …（5分）
又BE?平面PBC，∴AC⊥BE； …（6分）
（2）如圖所示，取AF的中點G，AB的中點M，連接CG、CM、GM，
∵E為PC的中點，F(xiàn)A=2FP，∴EF∥CG；…（7分）
又CG?平面BEF，EF?平面BEF，…（8分）
∴CG∥平面BEF；…（9分）
同理可證：GM∥平面BEF；…（10分）
又CG∩GM=G，CG、GM?平面GCM，
∴平面CMG∥平面BEF．…（11分）
又CD?平面CDG，∴CD∥平面BEF．…（12分）

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理能力與空間想象能力，是基礎(chǔ)題．