Question

6．若數(shù)列{b_n}：對于任意的n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于任意的n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，證明：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項公式．
（2）設(shè)（1）中的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試問：是否存在實數(shù)a，使得數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項都等于50？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）a₁=a，對于任意的n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，可得：a₂=2-a，a_n+1+a_n+2=2（n+1），相減可得：a_n+2-a_n=2，即可證明．利用{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項都成等差數(shù)列，公差為2，即可得出通項公式．
（2）若數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項都等于50，n必然為一奇一偶．當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，a_2k-1+a_2k=a+2k-2+2k-a=4k-2．令S_n=S_2k=k（4k-2）=50，解得k不為整數(shù)，即可判斷出．

解答 （1）證明：∵a₁=a，對于任意的n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，
∴a₂=2-a，a_n+1+a_n+2=2（n+1），
相減可得：a_n+2-a_n=2，
∴{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列．
∴{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項都成等差數(shù)列，公差為2，
a_2k-1=a+2（k-1）=a+2k-2，a_2k=2-a+2（k-1）=2k-a．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a+n-1，n為奇數(shù)}\\{n-a，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（2）解：若數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項都等于50，n必然為一奇一偶．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，a_2k-1+a_2k=a+2k-2+2k-a=4k-2．
則S_n=S_2k=k（4k-2），令S_n=S_2k=k（4k-2）=50，解得k不為整數(shù)．
因此不存在實數(shù)a，使得數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項都等于50．

點評 本題考查了“準(zhǔn)等差數(shù)列”、等差數(shù)列的通項公式、分組求和方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．