Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）若$f（1）=\frac{8}{3}$，且函數(shù)g（x）=a^2x-a^-2x-2mf（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）方法一、由奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，解方程可得k=1，檢驗(yàn)成立；方法二、運(yùn)用奇函數(shù)的定義，由恒等式的性質(zhì)即可得到k=1；
（2）求得a=3，即有g(shù)（x）=3^2x-3^-2x-2m（3^x-3^-x），令t=3^x-3^-x，則t是關(guān)于x的增函數(shù)，可得$t≥3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$，h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，可得最小值，解方程可得m的值．

解答 （1）解法一：函數(shù)f（x）=k•a^x-a^-x的定義域?yàn)镽，
f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=k-1=0，即有k=1．  
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)，故所求k的值為1；
解法二：函數(shù)f（x）=k•a^x-a^-x的定義域?yàn)镽，
由題意，對(duì)任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即k•a^-x-a^x=a^-x-k•a^x，（k-1）（a^x+a^-x）=0，
因?yàn)閍^x+a^-x＞0，所以，k=1．  
（2）由$f（1）=\frac{8}{3}$，得$a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3}$，解得a=3或$a=-\frac{1}{3}$（舍）．   
所以g（x）=3^2x-3^-2x-2m（3^x-3^-x），
令t=3^x-3^-x，則t是關(guān)于x的增函數(shù)，$t≥3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$，
g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
當(dāng)$m＜\frac{8}{3}$時(shí)，則當(dāng)$t=\frac{8}{3}$時(shí)，$g{（x）_{min}}={（{\frac{8}{3}}）^2}-2m×\frac{8}{3}+2=-2$，
解得$m=\frac{25}{12}$；     
當(dāng)$m≥\frac{8}{3}$時(shí)，則當(dāng)t=m時(shí)，$g{（x）_{min}}=2-{m^2}=-2$，m=±2（舍去）．
綜上，$m=\frac{25}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和二次韓寒說的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．