Question

11．已知函數(shù)y=f（x）的定義域是R，函數(shù)g（x）=f（x+5）+f（1-x），若方程g（x）=0有且僅有7個不同的實數(shù)解，則這7個實數(shù)解之和為-14．

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到函數(shù)f（x）關(guān)于x=-2對稱，利用函數(shù)對稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵g（-2+x）=f（3+x）+f（3-x）
g（-2-x）=f（3+x）+f（3-x）
∴g（-2+x）=g（-2-x）
g（x）圖象關(guān)于x=-2對稱，
若方程g（x）=0有且僅有7個不同的實數(shù)解，
則必有應(yīng)該為x=-2，其余6個關(guān)于x=-2對稱，
設(shè)對稱的兩個根為a，b，則$\frac{a+b}{2}$=-2，
則a+b=-4，
則7個實數(shù)解之和-4×3-2=-14，
故答案為：-14

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)f（x）的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．