Question

15．已知a₁=2，a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+$（\frac{1}{2}）^{n+1}$（n∈N^*），求通項a_n．

Answer 1

分析 把已知遞推式兩邊同時乘以2ⁿ⁺¹，然后換元，在構造等比數列求解．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+$（\frac{1}{2}）^{n+1}$（n∈N^*），得
${2}^{n+1}{a}_{n+1}=\frac{2}{3}{2}^{n}{a}_{n}+1$，令$_{n}={2}^{n}{a}_{n}$，
則$_{n+1}=\frac{2}{3}_{n}+1$，
∴$_{n+1}-3=\frac{2}{3}（_{n}-3）$．
∵b₁-3=4-3=1≠0，
∴$\frac{_{n+1}-3}{_{n}-3}=\frac{2}{3}$，即數列{b_n-3}是以1為首項，以$\frac{2}{3}$為公比的等比數列．
∴$_{n}-3=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，即$_{n}={2}^{n}{a}_{n}=（\frac{2}{3}）^{n-1}+3$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n-1}+\frac{3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了等比數列通項公式的求法，是中檔題．