Question

10．已知A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外的任意一點，若點P分別滿足下列關系：
（1）$\overrightarrow{OA}$$+2\overrightarrow{OB}$=6$\overrightarrow{OP}$$-3\overrightarrow{OC}$；
（2）$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{OC}$=4$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$．
試判斷點P是否與點A，B，C共面．

Answer 1

分析 將已知化為：$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$的形式，判斷x+y+z=1是否成立，可得P與點A，B，C是否共面．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$$+2\overrightarrow{OB}$=6$\overrightarrow{OP}$$-3\overrightarrow{OC}$，
∴6$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$$+2\overrightarrow{OB}$+$3\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，
∵$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴P與點A，B，C共面；
（2）∵$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{OC}$=4$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=4$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$．
∵4-1-1≠0，
∴P與點A，B，C不共面．

點評 本題考查的知識點是共面向量，正確理解并熟練掌握四點共面充要條件的向量表示，是解答的關鍵．