Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AB=4，∠BED=120°，則圖中陰影部分的面積之和為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 先證明△ABC是等邊三角形，從而得到△EDC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，而$\widehat{BE}$和弦BE圍成的部分的面積=$\widehat{DE}$和弦DE所圍成的部分的面積，由此能求出圖中陰影部分的面積之和．

解答 解：連結(jié)AE、OD、OE，
∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°，
∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD=60°，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是4，△EDC是等邊三角形，邊長(zhǎng)是2，
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴$\widehat{BE}$和弦BE圍成的部分的面積=$\widehat{DE}$和弦DE所圍成的部分的面積，
∴陰影部分的面積之和=S_△EDC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}=\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何圖形中陰影部分的面積之和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．