Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+3$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，借助于輔助角公式和二倍角公式，進(jìn)行化簡函數(shù)解析式，然后，確定其周期即可；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）和所給的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性確定其最值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+3$．
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+4
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為2，最小值為-1．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了三角公式、二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．