Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-bx+2b（a＞0），集合A={x|f（x）＜0}，若A∩Z的子集恰有4個(gè)，求$\frac{f（1）}{f（2）}$的取值范圍．

Answer 1

分析 利用A∩Z的子集恰有4個(gè)，可得A中只含有2個(gè)整數(shù)．令ax²-bx+2b=0，△=b²-8ab，則1＜$\frac{\sqrt{△}}{a}$≤3，結(jié)合$\frac{f（1）}{f（2）}$=$\frac{a+b}{4a}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{a}$，即可求出$\frac{f（1）}{f（2）}$的取值范圍．

解答 解：A∩Z的子集恰有4個(gè)，∴A中只含有2個(gè)整數(shù)．
令ax²-bx+2b=0，△=b²-8ab，則|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{△}}{a}$
∵A中只含有2個(gè)整數(shù)，∴1＜$\frac{\sqrt{△}}{a}$≤3，
∴a²＜b²-8ab≤9a²，
∴1＜（$\frac{a}$）²-8•$\frac{a}$≤9，
∴-1≤$\frac{a}$＜4-$\sqrt{17}$或4+$\sqrt{17}$＜$\frac{a}$≤9，
∵$\frac{f（1）}{f（2）}$=$\frac{a+b}{4a}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{a}$，
∴-$\frac{3}{4}$≤$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{17}{4}$-$\sqrt{17}$或$\frac{17}{4}$+$\sqrt{17}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$≤$\frac{37}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查子集的性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．