Question

3．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、B₁C的中點(diǎn)．
（1）用向量法證明平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（2）用向量法證明MN⊥面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求出平面A₁BD、平面B₁CD₁的法向量，證明法向量平行，即可證明結(jié)論；
（2）求出$\overrightarrow{MN}$=（-1，1，1），可得$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{m}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D（0，0，0），A₁（2，0，2），B（2，2，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
設(shè)平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1），
同理平面B₁CD₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，
∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（2）∵M(jìn)、N分別為AB、B₁C的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{MN}$=（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{m}$，
∴MN⊥面A₁BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的證明，考查直線與平面垂直，正確建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．