Question

9．求與兩個(gè)已知圓C₁：（x+3）²+y²=1和C₂：（x-3）²+y²=9都內(nèi)切的動(dòng)圓的圓心軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)圓（x+3）²+y²=1的圓心C₁（-3，0），半徑r₁=1；圓（x-3）²+y²=25的圓心C₂（3，0），半徑r₂=3．動(dòng)圓C與圓C₁：（x+3）²+y²=1和C₂：（x-3）²+y²=9都內(nèi)切，|C₁C|=R-1，|C₂C|=R-3．|C₁C|-|C₂C|=2＜|C₁C₂|=6，利用雙曲線的定義可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的右支．求出即可．

解答 解：設(shè)圓（x+3）²+y²=1的圓心C₁（-3，0），半徑r₁=1；圓（x-3）²+y²=25的圓心C₂（3，0），半徑r₂=3．
設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），半徑R．
∵動(dòng)圓C與圓C₁：（x+3）²+y²=1和C₂：（x-3）²+y²=9都內(nèi)切，
∴|C₁C|=R-1，|C₂C|=R-3．
∴|C₁C|-|C₂C|=2＜|C₁C₂|=6，
因此動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的右支，2a=2，2c=6，解得a=1，c=3，∴b²=c²-a²=8．
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≥1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)、雙曲線的定義，屬于中檔題．