Question

14．已知方程3^-x+1-|lgx|=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＞x₂，則x₁，$\frac{1}{{x}_{1}}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$的大小關(guān)系為$\frac{1}{{x}_{1}}$＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$．（用“＜”號連接）

Answer 1

分析 利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f（x）=3^-x+1，g（x）=|lgx|的圖象相交問題，利用數(shù)形結(jié)合進行比較即可．

解答 解：由3^-x+1-|lgx|=0得3^-x+1=|lgx|，
設(shè)f（x）=3^-x+1，g（x）=|lgx|，
作出兩個函數(shù)的圖象如圖：
則有圖象知0＜x₂＜1，x₁＞1，
則0＜$\frac{1}{{x}_{1}}$＜1，$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，
則3^-x₁+1=|lgx₁|=lgx₁，
3^-x₂+1=|lgx₂|=-lgx₂，
兩式作差得3^-x₁-3^-x₂=lgx₁+lgx₂=lg（x₁x₂），
∵x₁＞x₂，∴-x₁＜-x₂，
則3^-x₁-3^-x₂=lgx₁+lgx₂=lg（x₁x₂）＜0，
即0＜x₁x₂＜1，
即1＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$，
綜上$\frac{1}{{x}_{1}}$＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$，
故答案為：$\frac{1}{{x}_{1}}$＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用作差法進行比較是解決本題的關(guān)鍵．