Question

17．設f（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=2^x+ln$\frac{x}{4}$，記a_n=f（n-5），則數(shù)列{a_n}的前8項和為-2⁴．

Answer 1

分析 通過f（x）是R上的奇函數(shù)及當x＞0時的表達式可求出f（x）的表達式，利用奇函數(shù)的對稱性可知問題即求a₁即f（-4）的值，代入計算即得結論．

解答 解：當x＜0時，-x＞0，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-ln$\frac{-x}{4}$，
又∵f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+ln\frac{x}{4}，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-（{2}^{-x}+ln\frac{-x}{4}），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
∵a_n=f（n-5），f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴a₂+a₈=a₃+a₇=…=a₄+a₆=a₅=0，
∴數(shù)列{a_n}的前8項和為a₁=f（-4）=-（2⁴+ln1）=-2⁴，
故答案為：-2⁴．

點評 本題是一道關于數(shù)列與函數(shù)的綜合題，涉及奇函數(shù)、數(shù)列的求和等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．