Question

3．F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF₁F₂是等腰直角三角形，則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 求橢圓的離心率，即求參數(shù)a，c的關(guān)系，本題中給出了三角形PF₁F₂為等腰直角三角形這一條件，由相關(guān)圖形知，角P或角F₁或角F₂為直角，不妨令角P或角F₂為直角，則有OP=OF₁，或PF₂=F₁F₂，求出兩線段的長度，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，整理即可得到所求的離心率．

解答 解：由△PF₁F₂是等腰直角三角形，
若P為直角頂點(diǎn)，即有OP=OF₁，
即為b=c，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
若角F₁或角F₂為直角，不妨令角F₂為直角，
此時P（c，y），
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
又三角形PF₁F₂為等腰直角三角形，得PF₂=F₁F₂，
故得$\frac{^{2}}{a}$=2c，即2ac=a²-c²，
即e²+2e-1=0，解得e=-1±$\sqrt{2}$，
由0＜e＜1可得e=$\sqrt{2}$-1．
故橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程、性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意分類討論的思想方法和公式的合理運(yùn)用．