Question

11．記方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，其中a₁，a₂，a₃是正實數(shù)，當a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，下列選項中，當方程③有實根時，能推出的是（　�。�

• A． 方程①有實根或方程②無實根
• B． 方程①有實根或方程②有實根
• C． 方程①無實根或方程②無實根
• D． 方程①無實根或方程②有實根

Answer 1

分析 當方程③有實根時，${a}_{3}^{2}-4$≥0，又a₃＞0，解得a₃≥2．由于a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$．對于方程①x²+a₁x+1=0，△₁=${a}_{1}^{2}-4$；對于方程②x²+a₂x+1=0，△₂=${a}_{2}^{2}$-4．對△₂分類討論即可得出．

解答 解：當方程③有實根時，${a}_{3}^{2}-4$≥0，又a₃＞0，解得a₃≥2．
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$．
對于方程①x²+a₁x+1=0，△₁=${a}_{1}^{2}-4$；對于方程②x²+a₂x+1=0，△₂=${a}_{2}^{2}$-4．
假設(shè)△₂＜0，則0＜a₂＜2，則a₁=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，可得△₁＜0，因此方程①無實數(shù)根；
假設(shè)△₂≥0，則a₂≥2，則a₁=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$與2的大小不確定，因此△₁與0大小關(guān)系不確定，即方程①可能有實數(shù)根也可能無實數(shù)根．
故選：C．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．