Question

12．設函數f（x）在R上存在導數f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2-m）-f（m）＞2-2m，則實數m的取值范圍為（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用構造法$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}$，推出g（x）為奇函數，判斷g（x）的單調性，然后推出不等式得到結果．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-x²+f（-x）=0
∵$g（{-x}）+g（x）=f（{-x}）-\frac{1}{2}{x^2}+f（x）-\frac{1}{2}{x^2}=0$
∴函數g（x）為奇函數．
∵x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函數g（x）在（0，+∞）上是減函數，
故函數g（x）在（-∞，0）上也是減函數，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數．
f（2-m）-f（m）＞2-2m等價于$f（{2-m}）-\frac{{{{（{2-m}）}^2}}}{2}＞f（m）-\frac{m^2}{2}$，
即g（2-m）＜g（m），∴2-m＜m，解得m＞1
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查函數奇偶性、單調性、導數的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．