Question

9．已知拋物線上一點(diǎn)A（2，1）到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)Q（0，-2）任作一動(dòng)直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，記$\overrightarrow{QM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$，若在直線上取一點(diǎn)R，使得$\overrightarrow{RM}$=$-λ\overrightarrow{NR}$，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一軌跡上運(yùn)動(dòng)，若是，求出該軌跡的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得拋物線的準(zhǔn)線為y=-1，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）由題意知直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為y=kx-2，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線和拋物線方程，得x²-4kx+8=0，由此利用向量知識、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)R在定直線y=2上

解答 解：（1）∵拋物線上一點(diǎn)A（2，1）到焦點(diǎn)的距離為2．
故點(diǎn)A（2，1）到準(zhǔn)線的距離也為2，
故拋物線的準(zhǔn)線為y=-1，
故拋物線的方程為：x²=4y
（2）由題意知直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為y=kx-2，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=4y\\ y=kx-2\end{array}\right.$，
消去y，得x²-4kx+8=0，
∴△=16（k²-2）＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=8，
由$\overrightarrow{QM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$，得x₁=-λx₂，
解得λ=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則由$\overrightarrow{RM}$=$-λ\overrightarrow{NR}$，
得x₁-x₀=-λ（x₀-x₂），
解得x₀=$\frac{{λx}_{2}-{x}_{1}}{λ-1}$=$\frac{{-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•x}_{2}-{x}_{1}}{-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{4}{k}$，
則y₀═kx₀-2=2，
故點(diǎn)R在定直線y=2上．

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程的求法，考查點(diǎn)是否在在定直線上的判斷與求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用