Question

1．如圖，圍建一個面積為100m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（舊墻需維修），其余三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為56元/米，新墻的造價為200元/米，設(shè)利用的舊墻長度為x（單位：米），修建此矩形場地圍墻的總費用y（單位：元）
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）求當(dāng)x為何值時，y取得最小值，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意得矩形場地的另一邊長為$\frac{100}{x}$米，根據(jù)舊墻的維修費用為56元/米，新墻的造價為200元/米，求得長度．得出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）利用基本不等式求出y的最小值，運用等號成立的條件，求出x的值．

解答 解：（1）由題意得矩形場地的另一邊長為$\frac{100}{x}$米，
∴y=56x+（x+2•$\frac{100}{x}$-2）×200=256x+$\frac{40000}{x}$-400（x＞0）．
（2）由（1）得y=256x+$\frac{40000}{x}$-400
≥2$\sqrt{256x•\frac{40000}{x}}$-400=6000，
當(dāng)且僅當(dāng)256x=$\frac{40000}{x}$時，等號成立，
即當(dāng)x=$\frac{25}{2}$米時，y取得最小值6000元．

點評 本題是函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用，考查函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題．