Question

14．已知全集為R，集合A={x|y=lgx+$\sqrt{2-x}$}，B={x|$\frac{1}{4}$＜2^x-a≤8}．
（I）當(dāng)a=0時(shí)，求（∁_RA）∩B；
（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)有意義求得A，解指數(shù)不等式求得B，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求得∁_RA，再利用兩個(gè)集合的交集的定義求得（∁_RA）∩B；
（2）若A∪B=B，A⊆B，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）A={x|y=lgx+$\sqrt{2-x}$}=（0，2]，∴∁_RA=（-∞，0]∪（2，+∞）
當(dāng)a=0時(shí)，$\frac{1}{4}$＜2^x≤8，∴-2＜x≤3，∴B=（-2，3]，
則（∁_RA）∩B=（-2，0]∪（2，3]；
（2）B={x|$\frac{1}{4}$＜2^x-a≤8}=（a-2，a+3]．
∵A∪B=B，∴A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，
∴-1≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，集合的補(bǔ)集、兩個(gè)集合的交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．