Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R，b＞0）且對(duì)任意實(shí)數(shù)xf（x）≥2x+b恒成立．
（I）求證：c≥b；
（Ⅱ）若當(dāng)c≠b時(shí)，不等式k（c²-b²）≥f（c）-f（b）對(duì)滿足條件的b，c恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)任意的x∈R，x²+bx+c≥2x+b轉(zhuǎn)化為x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，即可找到b和c之間的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)c＞b時(shí)，有k≥$\frac{f（c）-f（b）}{{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{c+2b}{b+c}$，換元求值域，求出對(duì)應(yīng)的k的取值范圍，即可求k的最小值．

解答 （Ⅰ）證明：由題設(shè)，對(duì)任意的x∈R，x²+bx+c≥2x+b，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，從而c≥$\frac{^{2}}{4}$+1≥b；
（Ⅱ）解：當(dāng)c＞b時(shí)，有k≥$\frac{f（c）-f（b）}{{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{c+2b}{b+c}$，
令t=$\frac{c}$則-1＜t＜1，$\frac{c+2b}{b+c}$=2-$\frac{1}{t+1}$，
而函數(shù)g（t）=2-$\frac{1}{t+1}$（-1＜t＜1）的值域（-∞，$\frac{3}{2}$）
因此，k≥$\frac{3}{2}$，
∴k的最小值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)二次函數(shù)的恒成立問題的考查．二次函數(shù)的恒成立問題一般分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．