Question

11．在直角坐標系xOy中，已知曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x\;=cosα\\ y=si{n^2}α\end{array}\right.$（α為參數），在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C₃：ρ=2sinθ．
（l）求曲線C₁與C₂的交點M的直角坐標；
（2）設點A，B分別為曲線C₂，C₃上的動點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （l）求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程，聯立方程組能求出曲線C₁與C₂的交點M的直角坐標．
（2）曲線C₃是以C（0，1）為圓心，半徑r=1的圓，求出圓心C，點B到直線x+y+1=0的距離d，d'，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：（l）曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x\;=cosα\\ y=si{n^2}α\end{array}\right.$，消去參數α，
得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
∵曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲線C₂：x+y+1=0，②，
聯立①②，消去y可得：x²-x-2=0，解得x=-1或x=2（舍去），
∴M（-1，0）．…（5分）
（2）曲線C₃：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C₃：x²+（y-1）²=1，是以C（0，1）為圓心，半徑r=1的圓
設圓心C，點B到直線x+y+1=0的距離分別為d，d'，
則：$d=\frac{{|{0+1+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
$|{AB}|≥d'≥d-r=\sqrt{2}-1$，
∴|AB|的最小值為$\sqrt{2}-1$．…（10分）

點評 本題考查曲線的交點的直角坐標的求法，考查線段的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．